Question

已知函數(shù)f（x）=mx+

1

x+n

（m，n∈Z），曲線Y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y=3
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=aln（x-1）-x（a＞0），若函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：曲線y=f（x）上任意一點(diǎn)的切線與直線x=1和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求出此定值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)解析式的求解及常用方法,定積分

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，由條件得到

f(2)=3 f′(2)=0

，列出方程組，解出m，n，即可得到解析式；
（Ⅱ）求出F（x），并求導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間和極小值，及最小值，令它小于0，解得即可；
（Ⅲ）取曲線上任一點(diǎn)，求出切線的斜率和切線方程，并求與x=1和y=x的交點(diǎn)，再由面積公式，即可得證．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=m-

1

(x+n)2

，由

f(2)=3 f′(2)=0

，即

2m+ 1 2+n =3 m- 1 (2+n)2 =0

，
解得

m=1 n=-1

或

m= 9 4 n=- 8 3

，由于m，n∈Z，所以

m=1 n=-1

，則f（x）=x+

1

x-1

．    
（Ⅱ）由（1）得F（x）=aln（x-1）+

1

x-1

，知F（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
又F′（x）=

a

x-1

-

1

(x-1)2

=

ax-a-1

(x-1)2

，由于a＞0，令F′（x）=0，得x=1+

1

a

，
當(dāng)1＜x＜1+

1

a

時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，知F（x）在（1，1+

1

a

）時(shí)單調(diào)遞減，
同理，知F（x）在（1+

1

a

，+∞）時(shí)單調(diào)遞增．　　　　　　　　　　　
所以F（x）_min=F（1+

1

a

）=a-alna，令a-alna＜0，即a＞e時(shí)，函數(shù)F（x）=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
所以a的取值范圍是（e，+∞）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（Ⅲ）證明：在曲線上任取一點(diǎn)（x₀，x₀+

1

x0-1

），由f′（x₀）=1-

1

(x0-1)2

，
知過此點(diǎn)的切線方程為y-

x02-x0+1

x0-1

=[1-

1

(x0-1)2

]（x-x₀），
令x=1得y=

x0+1

x0-1

，即切線與直線x=1的交點(diǎn)為（1，

x0+1

x0-1

），令y=x，得y=2x₀-1，
即切線與直線y=x的交點(diǎn)為（2x₀-1，2x₀-1），
又直線x=1與直線y=x的交點(diǎn)為（1，1），
從而所圍成的三角形面積為：

1

2

|

x0+1

x0-1

-1|•|2x₀-1-1|=

1

2

|

2

x0-1

|•|2x₀-2|=2，
故所圍成的三角形面積為定值2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查直線方程的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．