Question

17．若橢圓的短軸長(zhǎng)，焦距，長(zhǎng)軸長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是（　　）

• A． $\frac{4}{5}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{2}{5}$

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）．焦距為2c．根據(jù)橢圓的短軸長(zhǎng)，焦距，長(zhǎng)軸長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列，可得2×2c=2a+2b，化簡(jiǎn)再利用b²=a²-c²即可得出．

解答 解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）．焦距為2c．
∵橢圓的短軸長(zhǎng)，焦距，長(zhǎng)軸長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列，
∴2×2c=2a+2b，
化為2c=a+b，
∴（2c-a）²=b²=a²-c²，
化為：5c-4a=0，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{5}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．