Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-a）（x-b），點A（s，f（s）），B（t，f（t））．
（Ⅰ）若a=0，b=3，函數(shù)f（x）在（t，t+3）上既能取到極大值，又能取到極小值，求t的取值范圍；
（Ⅱ）當a=0時，

f(x)

x

+lnx+1≥0對任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，求b的取值范圍；
（Ⅲ）若0＜a＜b，函數(shù)f（x）在x=s和x=t處取得極值，且a+b＜2

3

，O是坐標原點，探究直線OA與直線OB能否垂直，并說明理由．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,函數(shù)恒成立問題,函數(shù)在某點取得極值的條件

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）直接求導得f'（x）=3x²-6x，令f'（x）=0即可確定極值點，解不等式t＜0且t+3＞2即可求解t的取值范圍；
（Ⅱ）化簡

f(x)

x

+lnx+1≥0得b≤x+

lnx

x

+

1

x

，然后求函數(shù)g(x)=x+

lnx

x

+

1

x

在x∈[

1

2

，+∞)的最小值，即可確定b的取值范圍；
（Ⅲ）假設直線OA與直線OB垂直，運用數(shù)量積的坐標運算建立s，t的方程，根據極值的性質可知s，t是方程f'（x）=0的兩個根，從而確定a+b的值，得出與已知的矛盾，推翻假設．得出結論．

解答： （Ⅰ）當a=0，b=3時，
f（x）=x³-3x²，f'（x）=3x²-6x，
令f'（x）=0得，x=0或x=2．
根據導數(shù)的符號可知，
函數(shù)f（x）在x=0處取得極大值，在x=2處取得極小值．
∵函數(shù)f（x）在（t，t+3）上既能取到極大值，又能取到極小值，
∴t＜0且t+3＞2，
即-1＜t＜0．
∴t的取值范圍是（-1，0）．    
（Ⅱ）當a=0時，

f(x)

x

+lnx+1≥0對任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，
即x²-bx+lnx+1≥0對任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，
即b≤x+

lnx

x

+

1

x

在對任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立．
令g(x)=x+

lnx

x

+

1

x

，
則g′(x)=1+

1-lnx

x2

-

1

x2

=

x2-lnx

x2

． 
記m（x）=x²-lnx，
則m′(x)=2x-

1

x

=

2x2-1

x

，
則這個函數(shù)在其定義域內有唯一的極小值點x=

2

2

，
并且也是最小值點，
∴m(x)≥m(

2

2

)=

1

2

-ln

2

2

＞0，
從而g'（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間[

1

2

，+∞)上單調遞增．
函數(shù)g(x)min=g(

1

2

)=

5

2

-2ln2．
故只要b≤

5

2

-2ln2即可．
∴b的取值范圍是(-∞，

5

2

-2ln2]．
（Ⅲ）假設

OA

⊥

OB

，即

OA

•

OB

=0，
即（s，f（s））•（t，f（t））=st+f（s）f（t）=0，
故（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=-1．
即[st-（s+t）a+a²][st-（s+t）b+b²]=-1．
由于s，t是方程f'（x）=0的兩個根，
故s+t=

2

3

(a+b)，st=

ab

3

，0＜a＜b．
代入上式得ab（a-b）²=9．
(a+b)2=(a-b)2+4ab=

9

ab

+4ab≥2

36

=12，
即a+b≥2

3

，與a+b＜2

3

矛盾，
∴直線OA與直線OB不可能垂直．

點評：本題主要考查向量的數(shù)量積的性質和坐標運算，導數(shù)與極值最值的關系，恒成立問題的解決技巧等知識的綜合應用，屬于難題．