Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為

x=acosφ y=bsinφ

（a＞b＞0，φ為參數(shù)），已知曲線C上的點M（1，

3

2

）對應(yīng)的參數(shù)φ=

π

3

．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，若點A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+

π

2

）在曲線C上，求

1

ρ 2 1

+

1

ρ 2 2

的值．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（I）將M(1，

3

2

)及對應(yīng)的參數(shù)ϕ=

π

3

，代入

x=acosϕ y=bsinϕ

，即可解得a，b．得到曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosϕ y=sinϕ

（ϕ為參數(shù)）．利用三角函數(shù)的平方關(guān)系消去參數(shù)ϕ得到曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（II）將

x2

4

+y2=1化成極坐標(biāo)方程為

ρ 2   cos2θ

4

+

ρ

2

sin2θ=1．把點A（ρ₁，θ），B(ρ2，θ+

π

2

)代入即可得出．

解答： 解：（I）將M(1，

3

2

)及對應(yīng)的參數(shù)ϕ=

π

3

，代入

x=acosϕ y=bsinϕ

，可得

1=acos π 3 3 2 =bsin π 3

，
解得

a=2 b=1

，
∴曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosϕ y=sinϕ

（ϕ為參數(shù)）．
∴消去參數(shù)ϕ得到曲線C的直角坐標(biāo)方程為

x2

4

+y2=1． 
（II）將

x2

4

+y2=1化成極坐標(biāo)方程為

ρ 2   cos2θ

4

+

ρ

2

sin2θ=1．
∵點A（ρ₁，θ），B(ρ2，θ+

π

2

)在曲線C上，
∴

ρ 2 1 cos2θ

4

+

ρ

2 1

sin2θ=1，

ρ 2 2 sin2θ

4

+

ρ

2 2

cos2θ=1，
∴

1

ρ 2 1

=

cos2θ

4

+sin2θ，

1

ρ 2 2

=

sin2θ

4

+cos2θ．
∴

1

ρ 2 1

+

1

ρ 2 2

=(

cos2θ

4

+sin2θ)+(

sin2θ

4

+cos2θ)=

5

4

．

點評：本題考查了曲線的參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程與普通方程的互化、三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于中檔題．