Question

3．已知函數(shù)f（x）=log₂（4^x+1）+kx是偶函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)k的值；
（2）設(shè)$g（x）={log_2}（a•{2^x}-\frac{4}{3}a）（a∈R）$，若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)偶函數(shù)的定義求出k的值即可；（2）通過(guò)換元討論a的范圍，結(jié)合方程根的情況求出a的范圍即可．

解答 解：（1）∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）．
∴${log_2}（{4^{-x}}+1）-kx={log_2}（{4^x}+1）+kx$，∴2x+2kx=0．
由于此式對(duì)于一切x∈R恒成立，∴k=-1…4
（2）函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，等價(jià)于方程f（x）=g（x）有唯一的實(shí)數(shù)解，
等價(jià)于方程${4^x}+1=（a•{2^x}-\frac{4}{3}a）•{2^x}$有唯一實(shí)數(shù)解，且$a•{2^x}-\frac{4}{3}a＞0$．
令2^x=t，則此問(wèn)題等價(jià)于方程$（a-1）•{t^2}-\frac{4}{3}at-1=0$只有一個(gè)正實(shí)根且$a•{2^x}-\frac{4}{3}a＞0$．
從而有：
①a-1=0即a=1，則$t=-\frac{3}{4}$，不合題意舍去．
②a-1≠0即a≠1．
（Ⅰ）若$△=\frac{16}{9}{a^2}+4（a-1）=0$，即$a=\frac{3}{4}$或a=-3．當(dāng)$a=\frac{3}{4}$時(shí)，代入方程得t=-2不合題意，
當(dāng)a=-3時(shí)，得$t=\frac{1}{2}$符合題意．
（Ⅱ）方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，即$\frac{-1}{a-1}＜0$，即a＞1符合題意，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{-3}∪（1，+∞）．…10

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，方程思想，分類(lèi)討論，是一道中檔題．