Question

已知函數(shù)f(x)=(a-

1

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)e2x+x．（a∈R）
（Ⅰ）若f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若在區(qū)間（0，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象恒在曲線y=2ae^x下方，求a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增，
則f'（x）=（2a-1）e^2x+1≥0在區(qū)間（-∞，0）上恒成立．                          
即1-2a≤

1

e2x

，而當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，

1

e2x

＞1，故1-2a≤1．                  
∴a≥0．                                                                
（Ⅱ）令g(x)=f(x)-2aex=(a-

1

2

)e2x-2aex+x，定義域?yàn)镽．
在區(qū)間（0，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象恒在曲線y=2ae^x下方等價(jià)于g（x）＜0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立．
∵g'（x）=（2a-1）e^2x-2ae^x+1=（e^x-1）[（2a-1）e^x-1]，
①若a＞

1

2

，令g'（x）=0，得極值點(diǎn)x₁=0，x2=ln

1

2a-1

，
當(dāng)x₂＞x₁=0，即

1

2

＜a＜1時(shí)，在（x₂，+∞）上有g(shù)'（x）＞0，此時(shí)g（x）在區(qū)間（x₂，+∞）上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有g(shù)（x）∈（g（x₂），+∞），不合題意；
當(dāng)x₂≤x₁=0，即a≥1時(shí)，同理可知，g（x）在區(qū)間（0，+∞）上，
有g(shù)（x）∈（g（0），+∞），也不合題意；                                          
②若a≤

1

2

，則有2a-1≤0，此時(shí)在區(qū)間（0，+∞）上恒有g(shù)'（x）＜0，從而g（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)；
要使g（x）＜0在此區(qū)間上恒成立，只須滿足g(0)=-a-

1

2

≤0?a≥-

1

2

，
由此求得a的范圍是[-

1

2

，

1

2

]．                                            
綜合①②可知，當(dāng)a∈[-

1

2

，

1

2

]時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2ae^x下方．