Question

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)M（x，y）到直線l：x=3的距離是它到點(diǎn)D（1，0）的距離的 倍．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)軌跡C上一動(dòng)點(diǎn)T滿足： =2λ +3μ ，其中P、Q是軌跡C上的點(diǎn)，且直線OP與OQ的斜率之積為﹣ ．若N（λ，μ）為一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1（﹣ ，0）、F2（ ，0）為兩定點(diǎn)，求|NF1|+|NF2|的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)M（x，y），則M到直線l的距離為|x﹣3|，MD= ，

∴|x﹣3|= ，化簡(jiǎn)得 ，

∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為 ．

（2）解：設(shè)P（ cosα， sinα），Q（ cosβ， sinβ），

則kOP= ，kOQ= ，∴kOPkOQ= =﹣ ，

∴sinαsinβ+cosαcosβ=0，

∵ =2λ +3μ ，∴T（2 λcosα+3 μcosβ，2 λsinα+3 μsinβ），

∵T在曲線C 上，

∴2（2 λcosα+3 μcosβ）2+3（2 λsinα+3 μsinβ）2=6，

化簡(jiǎn)得4λ2+9μ2=1，即 ，

∴N（λ，μ）點(diǎn)軌跡方程為 ，

F1（﹣ ，0）、F2（ ，0）為此橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，

∴|NF1|+|NF2=2 =1．

【解析】（1）設(shè)M（x，y），用x，y表示出距離，列方程化簡(jiǎn)即可；（2）設(shè)P（ cosα， sinα），Q（ cosβ， sinβ），表示出T點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線C的方程化簡(jiǎn)可得N的軌跡方程，利用橢圓的性質(zhì)得出定值．