Question

12．已知f（x）=x²+1，g（x）=|（$\frac{1}{2}$）^x-1|，求f（g（x））的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 由條件利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，求得f（g（x））的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：∵f（x）=x²+1，g（x）=|（$\frac{1}{2}$）^x-1|，∴f（g（x））=g²（x）+1=${{|（\frac{1}{2}）}^{x}-1|}^{2}$+1=${{[（\frac{1}{2}）}^{x}-1]}^{2}$+1，
在[0，+∞）上，t=${（\frac{1}{2}）}^{x}$∈（0，1]上，t為減函數(shù)，y=${{[（\frac{1}{2}）}^{x}-1]}^{2}$+1是增函數(shù)；
在（-∞，0）上，t=${（\frac{1}{2}）}^{x}$∈（1，+∞）上，t為減函數(shù)，y=${{[（\frac{1}{2}）}^{x}-1]}^{2}$+1是減函數(shù)；
故f（g（x））的單調(diào)增區(qū)間為[0，+∞），f（g（x））的單調(diào)減區(qū)間（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．