Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+n+1，設(shè)b_n=a_n+n+2
（1）證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求a_n和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n+n+1，變形為a_n+1+n+3=2（a_n+n+2），可得b_n+1=2b_n，即可證明；
（2）由（1）可得：b_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，可得a_n=2ⁿ⁺¹-n-2．利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵a_n+1=2a_n+n+1，
∴a_n+1+n+3=2（a_n+n+2），
∵b_n=a_n+n+2，
可得b_n+1=2b_n，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為2．
（2）解：由（1）可得：b_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-n-2．
∴S_n=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-$\frac{n（3+n+2）}{2}$
=2ⁿ⁺²-4-$\frac{1}{2}（{n}^{2}+5n）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了變形能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．