Question

16．設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，若S_n=5a_n-1，則a_n=$\frac{1}{4}×（\frac{5}{4}）^{n-1}$．

Answer 1

分析 由已知的數(shù)列遞推式求出首項，再由數(shù)列遞推式得到數(shù)列{a_n}是以$\frac{1}{4}$為首項，以$\frac{5}{4}$為公比的等比數(shù)列．則a_n可求．

解答 解：由S_n=5a_n-1，取n=1，得a₁=5a₁-1，∴${a}_{1}=\frac{1}{4}$；
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=5a_n-1-5a_n-1+1，
∴4a_n=5a_n-1，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{5}{4}$（n≥2）．
則數(shù)列{a_n}是以$\frac{1}{4}$為首項，以$\frac{5}{4}$為公比的等比數(shù)列．
∴${a}_{n}=\frac{1}{4}×（\frac{5}{4}）^{n-1}$．
故答案為：$\frac{1}{4}×（\frac{5}{4}）^{n-1}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．