Question

11．在平面直角坐標系xoy中，已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow$=（cosx，sinx），$x∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$．
（I）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，求tanx的值；
（II）若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{6}$，求x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$便可得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，進行數(shù)量積的坐標運算便可求出tanx的值；
（Ⅱ）由向量夾角余弦的坐標公式即可得到$\frac{1}{2}cosx-\frac{\sqrt{3}}{2}sinx=sin（\frac{π}{6}-x）=\frac{\sqrt{3}}{2}$，根據(jù)x的范圍可以求出$\frac{π}{6}-x$的范圍，從而便可得出x的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$；
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\frac{1}{2}cosx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx=0$，即$tanx=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
（Ⅱ）$cos\frac{π}{6}=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{\frac{1}{2}cosx-\frac{\sqrt{3}}{2}sinx}{1•1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$sin（\frac{π}{6}-x）=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∵$x∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$；
∴$\frac{π}{6}-x∈（-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}）$；
∴$\frac{π}{6}-x=\frac{π}{3}$；
∴$x=-\frac{π}{6}$．

點評 考查向量垂直的充要條件，數(shù)量積的坐標運算，以及弦化切公式，兩角差的正弦公式，已知三角函數(shù)值求角，向量夾角的余弦公式．