Question

1．在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：2$\sqrt{2}x-y+3+8\sqrt{2}$=0和圓C₁：x²+y²+8x+F=0．若直線l被圓C₁截得的弦長為2$\sqrt{3}$．
（1）求圓C₁的方程；
（2）設(shè)圓C₁和x軸相交于A，B兩點，點P為圓C₁上不同于A，B的任意一點，直線PA，PB交y軸于M，N兩點．當點P變化時，以MN為直徑的圓C₂是否經(jīng)過圓C₁內(nèi)一定點？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）把圓的方程化為標準方程后，找出圓心坐標和半徑，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線l的距離即為弦心距，然后根據(jù)垂徑定理及勾股定理利用圓的半徑及弦心距列出方程，即可求出F，得到圓的方程；
（2）先令圓方程中y=0分別求出點A和點B的坐標，可設(shè)出點P的坐標，分別表示出直線PA和PB的斜率，然后寫出直線PA和PB的方程，分別令直線方程中y=0求出M與N的坐標，因為MN為圓C₂的直徑，根據(jù)中點坐標公式即可求出圓心的坐標，根據(jù)兩點間的距離公式求出MN，得到圓的半徑為 $\frac{1}{2}$MN，寫出圓C₂的方程，化簡后，令y=0求出圓C₂過一定點，再利用兩點間的距離公式判斷出此點在圓C₁的內(nèi)部，得證；

解答 解：（1）圓C₁：（x+4）²+y²=16-F，
則圓心（-4，0）到直線2$\sqrt{2}$x-y+3+8$\sqrt{2}$=0的距離d=$\frac{|-8\sqrt{2}+3+8\sqrt{2}|}{3}$=1
根據(jù)垂徑定理及勾股定理得：（$\frac{2\sqrt{3}}{2}$）2+1²=16-F，F(xiàn)=12
∴圓C₁的方程為（x+4）²+y²=4；
（2）令圓的方程（x+4）²+y²=4中y=0得到：x=-6，x=-2，則A（-6，0），B（-2，0）
設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），則（x₀+4）²+y₀²=4，得到（x₀+4）²-4=-y₀²①
∴k_PA=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+6}$則l_PA：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+6}$（x+6），M（0，$\frac{{6y}_{0}}{{x}_{0}+6}$）
∴則l_PB：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$（x+2），N（0，$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$）
圓C₂的方程為x²+（y-$\frac{\frac{{6y}_{0}}{{x}_{0}+6}-\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}}{2}$）²=（$\frac{\frac{{6y}_{0}}{{x}_{0}+6}-\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}}{2}$）²
完全平方式展開并合并得：x²+y²-2（$\frac{\frac{{6y}_{0}}{{x}_{0}+6}-\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}}{2}$）y+$\frac{2{{y}_{0}}^{2}}{{（x}_{0}+4）^{2}-4}$=0
將①代入化簡得x²+y²-（$\frac{{6y}_{0}}{{x}_{0}+6}-\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$）y-12=0，
令y=0，得x=±2$\sqrt{3}$，
又點Q（-2$\sqrt{3}$，0），
由Q到圓C₁的圓心（-4，0）的距離d=$\sqrt{（4-2\sqrt{3}）^{2}+0}$=4-2$\sqrt{3}$＜2，則點Q在圓C₁內(nèi)，
所以當點P變化時，以MN為直徑的圓C₂經(jīng)過圓C₁內(nèi)一定點（-2$\sqrt{3}$，0）；

點評 本題考查學生靈活運用垂徑定理及勾股定理化簡求值，會根據(jù)直徑的兩個端點的坐標求出圓的方程以及掌握點與圓的位置關(guān)系的判別方法，靈活運用30°的直角三角形的邊的關(guān)系及兩點間的距離公式化簡求值，是一道比較難的題．