Question

在直角梯形PBCD中，，A為PD的中點(diǎn)，如下左圖。將沿AB折到的位置，使，點(diǎn)E在SD上，且，如下圖。
（1）求證：平面ABCD；
（2）求二面角E—AC—D的正切值．

Answer 1

（1）在圖中，由題意可知為正方形，所以在圖中，，
四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010102070530.png" style="vertical-align:middle;" />，ABBC，
所以BC平面SAB，
又平面SAB，所以BCSA，又SAAB，
所以SA平面ABCD，  
（2）

試題分析：（1）證明：在圖中，由題意可知，

為正方形，所以在圖中，，
四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010102070530.png" style="vertical-align:middle;" />，ABBC，
所以BC平面SAB，
又平面SAB，所以BCSA，又SAAB，
所以SA平面ABCD，  
（2）在AD上取一點(diǎn)O，使，連接EO。
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010102085705.png" style="vertical-align:middle;" />，所以EO//SA
所以EO平面ABCD，過(guò)O作OHAC交AC于H，連接EH，
則AC平面EOH，所以ACEH。
所以為二面角E—AC—D的平面角，
在中，…11分
，即二面角E—AC—D的正切值為
點(diǎn)評(píng)：本題中第二問(wèn)求二面角采用的是作角求角的思路，在作角時(shí)常用三垂線定理法；此外還可用空間向量的方法求解；以A為原點(diǎn)AB,AD,AS為x,y,z軸建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，代入向量計(jì)算公式即可