Question

10．已知點(diǎn)A（-3，5）B（0，3），試在直線y=x+1上找一點(diǎn)P，使|PA|+|PB|最小，并求出最小值．

Answer 1

分析 求出B（0，3）關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)B′（2，1），連接AB′交直線y=x+1于P點(diǎn)，此時(shí)|PB|+|AP|取最小值|AB′|，由此能求出結(jié)果．

解答 解：設(shè)B（0，3）關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)為B′（a，b），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b+3}{2}=\frac{a}{2}+1}\\{\frac{b-3}{a}=-1}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴B′（2，1），連接AB′交直線y=x+1于P點(diǎn)，
此時(shí)|PB|+|AP|取最小值|AB′|=$\sqrt{（2+3）^{2}+（1-5）^{2}}$=$\sqrt{41}$．
直線AB′的斜率k=$\frac{5-1}{-3-2}$=-$\frac{4}{5}$，
直線AB′的方程：y-1=-$\frac{4}{5}$（x-2），即4x+5y-13=0，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{4x+5y-13=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{9}}\\{y=\frac{17}{9}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{8}{9}$，$\frac{17}{9}$）．
∴直線y=x+1上點(diǎn)P（$\frac{8}{9}$，$\frac{17}{9}$）使|PA|+|PB|最小，最小值為$\sqrt{41}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查使線段和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)及最小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)稱性、兩點(diǎn)間距離公式、直線方程等知識(shí)的合理運(yùn)用．