Question

已知函數(shù)f(x)=|x-a|-

a

2

lnx，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，（x₁＜x₂），求證：1＜x₁＜a＜x₂＜a²．

Answer 1

（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)=|x-a|-

a

2

lnx=x-a-

a

2

lnx，f′(x)=1-

a

2x

＞0，
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），…3分
當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)=|x-a|-

a

2

lnx=

x-a- a 2 lnx  ，x≥a a-x- a 2 lnx，  0＜x＜a

，…5分
若x≥a，f′(x)=1-

a

2x

=

2x-a

2x

＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
若x＜a，f′(x)=-1-

a

2x

＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a）；單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞）． …7分
（2）由（1）知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
此時(shí)函數(shù)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；                      …8分
則必有a＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a）；單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞），
由題意，必須f(a)=-

a

2

lna＜0，解得a＞1，…10分
由f(1)=a-1-

a

2

ln1=a-1＞0，f（a）＜0，
得x₁∈（1，a），…12分
而f（a²）=a²-a-alna=a（a-1-lna），
下面證明：a＞1時(shí)，a-1-lna＞0
設(shè)g（x）=x-1-lnx，x＞1
則g′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

＞0，
所以g（x）在x＞1時(shí)遞增，則g（x）＞g（1）=0，
所以f（a²）=a²-a-alna=a（a-1-lna）＞0，
又f（a）＜0，
所以x₂∈（a，a²），
綜上，1＜x₁＜a＜x₂＜a²．                     …16分