已知P是曲線C：y=xn（n∈N﹡）上異于原點的任意一點，過P的切線l分別交X軸，Y軸于Q、R兩點，且
PQ
=
1
2
QR
，求n的值．
分析：設(shè)點P（p，pn），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=p處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出，求出點Q和點R的坐標，然后根據(jù)
PQ
=
1
2
QR
建立等式關(guān)系，即可求出n的值．
解答：解：設(shè)點P（p，pn），y'=nxn-1，y'|x=p=npn-1
∴曲線C在點P的切線方程為y-pn=npn-1（x-p）
令x=0，y=（1-n）pn；即R（0，（1-n）pn）
令y=0，x=
(n-1)p
n
，即Q（
(n-1)p
n
，0）
∵
PQ
=
1
2
QR
，
∴-pn=
1
2
（1-n）pn，解得：n=3
故n的值為3．
點評：考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用平行向量與共線向量進行解題，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知一條曲線C在y軸右側(cè)，C上每一點到點F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1．
（1）求曲線C的方程；
（2）（文科做）已知點P是曲線C上一個動點，點Q是直線x+2y+5=0上一個動點，求|PQ|的最小值．
（理科做）是否存在正數(shù)m，對于過點M（m，0）且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有
FA
•
FB
＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•臨沂一模）已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)n是過原點的直線，l是與n垂直相交于點P，且與曲線C相交于A、B兩點的直線，且|
.
OP
|=1，問：是否存在上述直線l使
.
AP
•
.
PB
=1成立？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分12分）已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.

（1）求曲線C的方程；

（2）設(shè)n是過原點的直線，l是與n垂直相交于點P，且與曲線C相交于A、B兩點的直線，且，問：是否存在上述直線l使成立？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年高三數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)10：定比分點、平移、正余弦定理（解析版） 題型：解答題

已知P是曲線C：y=xn（n∈N﹡）上異于原點的任意一點，過P的切線l分別交X軸，Y軸于Q、R兩點，且，求n的值．

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