Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，E、F分別是A1B，AC1的中點(diǎn)．
（1）求證：平面AEF⊥平面AA1B1B；
（2）若A1A=2AB=2BC=4，求三棱錐F﹣ABC的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)A1F，則F為A1C的中點(diǎn)，

又E是A1B的中點(diǎn)，

∴EF∥BC，

∵AA1⊥平面ABC，BC平面ABC，

∴AA1⊥BC，

又BC⊥AB，AB∩AA1=A，

∴BC⊥平面ABB1A1，

∴EF⊥平面ABB1A1，

又EF平面AEF，

∴平面AEF⊥平面ABB1A1

（2）解：∵F是A1C的中點(diǎn)，

∴F到平面ABC的距離d= AA1=2，

∴VF﹣ABC= = =

【解析】（1）連結(jié)A1F，則F為A1C的中點(diǎn)，于是EF∥BC，通過(guò)證明BC⊥平面ABB1A1得出EF⊥平面ABB1A1，故而平面AEF⊥平面AA1B1B；（2）F到平面ABC的距離為 AA1=2，代入棱錐的體積公式計(jì)算即可．
【考點(diǎn)精析】利用平面與平面垂直的判定對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．