Question

6．求函數(shù)f（x，y）=ln（1+x²+y²）+1-$\frac{{x}^{3}}{15}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$的極值．

Answer 1

分析 先求f′_x（x，y），f′_y（x，y），并令它們?yōu)?，求得駐點(diǎn)，再分別求得令A(yù)=f′′_xx（x，y），B=f′′_xy（x，y），C=f′_yy（x，y），根據(jù)二元函數(shù)的極值定理，計(jì)算即可得到極值．

解答 解：f′_x（x，y）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}+{y}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{5}$=0，
且f′_y（x，y）=$\frac{2y}{1+{x}^{2}+{y}^{2}}$-$\frac{y}{2}$=0，
解得x=0，y=0或y=$±\sqrt{3}$，x=±3，y=0．
即有駐點(diǎn)為（0，0），（0，$\sqrt{3}$），（0，-$\sqrt{3}$），
（3，0），（-3，0），
令A(yù)=f′′_xx（x，y）=-$\frac{2}{5}$x+$\frac{2（1+{y}^{2}-{x}^{2}）}{（1+{x}^{2}+{y}^{2}）^{2}}$，
B=f′′_xy（x，y）=$\frac{-4xy}{（1+{x}^{2}+{y}^{2}）^{2}}$，
C=f′_yy（x，y）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{2（1+{x}^{2}-{y}^{2}）}{（1+{x}^{2}+{y}^{2}）^{2}}$，
則代入點(diǎn)（0，0），A=2，B=0，C=$\frac{3}{2}$，B²-AC＜0，
則為極小值點(diǎn)，f（x，y）有極小值0；
代入點(diǎn)（0，$\sqrt{3}$），A=$\frac{1}{2}$，B=0，C=-$\frac{3}{4}$，B²-AC＞0，
不為極值點(diǎn)；
代入點(diǎn)（0，-$\sqrt{3}$），A=$\frac{1}{2}$，B=0，C=-$\frac{3}{4}$，B²-AC＞0，
不為極值點(diǎn)；
代入點(diǎn)（3，0），A=-$\frac{34}{25}$，B=0，C=-$\frac{3}{10}$，B²-AC＜0，
則為極大值點(diǎn)，f（x，y）有極大值ln10-$\frac{4}{5}$；
代入點(diǎn)（-3，0），A=$\frac{26}{25}$，B=0，C=-$\frac{3}{10}$，B²-AC＞0，
則不為極值點(diǎn)．
綜上可得，f（x，y）的極大值為ln10-$\frac{4}{5}$，極小值為0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二元函數(shù)的極值的求法，注意解題步驟，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．