如圖1,四邊形ABCD為矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2作如圖2折疊;折痕EF∥DC,其中點(diǎn)E,F(xiàn)分別在線段PD,PC上,沿EF折疊后點(diǎn)P疊在線段AD上的點(diǎn)記為M,并且MF⊥CF.
(1)證明:CF⊥平面MDF;
(2)求三棱錐M-CDE的體積.
考點(diǎn):直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角,立體幾何
分析:(1)要證CF⊥平面MDF,只需證CF⊥MD,且CF⊥MF即可;由PD⊥平面ABCD,得出平面PCD⊥平面ABCD,即證MD⊥平面PCD,得CF⊥MD;
(2)求出△CDE的面積S△CDE,對(duì)應(yīng)三棱錐的高M(jìn)D,計(jì)算它的體積VM-CDE
解答: 解:(1)證明:∵PD⊥平面ABCD,PD?平面PCD,
∴平面PCD⊥平面ABCD;
又平面PCD∩平面ABCD=CD,MD?平面ABCD,MD⊥CD,
∴MD⊥平面PCD,CF?平面PCD,∴CF⊥MD;
又CF⊥MF,MD、MF?平面MDF,MD∩MF=M,
∴CF⊥平面MDF;
(2)∵CF⊥平面MDF,∴CF⊥DF,
又∵∠PCD=60°,∴∠CDF=30°,∴CF=
1
2
CD=
1
2
;
∵EF∥DC,∴
DE
DP
=
CF
CP
,即
DE
3
=
1
2
2
,
∴DE=
3
4
,∴PE=
3
3
4
,
∴S△CDE=
1
2
CD•DE=
3
8

MD=
ME2-DE2
=
(
3
3
4
)
2
-(
3
4
)
2
=
6
2

∴VM-CDE=
1
3
S△CDE•MD=
1
3
×
3
8
×
6
2
=
2
16
點(diǎn)評(píng):本題考查了空間中的垂直關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題,解題時(shí)應(yīng)結(jié)合圖形,明確線線垂直、線面垂直以及面面垂直的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系是什么,幾何體的體積計(jì)算公式是什么,是中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若(1-2x)2014=a0+a1x+a2x2+…+a2014x2014(x∈R),則
a1
2
+
a2
22
+…+
a2014
22014
的值為( 。
A、2B、0C、-1D、-2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在△ABC中,
CM
=2
.
BM
,過(guò)點(diǎn)M的直線分別交射線AB、AC于不同的兩點(diǎn)P、Q.若
.
AP
=m
.
AB
,
.
AQ
=n
.
AC
,則m+n的最小值為(  )
A、1+
2
2
3
B、2
2
C、3
D、
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-2n,令bn=ancos
2
,記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,則T2014=( 。
A、-2011
B、-2012
C、-2013
D、-2014

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x
x3-3x+a
的定義域?yàn)閇0,+∞),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( 。
A、(0,3)
B、(0,2)
C、(2,+∞)
D、(3,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

四面體ABCD及其三視圖如圖所示,平行于棱AD,BC的平面分別交四面體的棱AB、BD、DC、CA于點(diǎn)E、F、G、H.
(Ⅰ)求四面體ABCD的體積;
(Ⅱ)證明:四邊形EFGH是矩形.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn),且其縱坐標(biāo)為4,|PF|=4.
(1)求拋物線的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線上異于點(diǎn)P的兩點(diǎn),∠APB的角平分線與x軸垂直,且線段AB的中垂線與x軸交于點(diǎn)M,求
|MF|
|AB|
的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2x3-3x.
(Ⅰ)求f(x)在區(qū)間[-2,1]上的最大值;
(Ⅱ)若過(guò)點(diǎn)P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切,求t的取值范圍;
(Ⅲ)問(wèn)過(guò)點(diǎn)A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分別存在幾條直線與曲線y=f(x)相切?(只需寫出結(jié)論)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中,圓ρ=4sinθ和直線ρsinθ=a相交于A、B兩點(diǎn),若△AOB是等邊三角形,則a的值為
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案