Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（x-a），a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時，求函數(shù)y=f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=

f(x)

x

在[1，+∞）單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）試問是否存在實數(shù)x₀，使得函數(shù)f（x）圖象上任意不同兩點連線的斜率都不等于f（x₀）？若存在求出x₀的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），由f′（x）正負(fù)性求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，求出f（x）的極值；
（Ⅱ）由函數(shù)y=

f(x)

x

在[1，+∞）單調(diào)遞增，得y′≥0在[1，+∞）上恒成立，求出a的取值范圍；
（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時，f（x）=xe^x，f′（x）=（x+1）e^x，
令f′（x）=0，得x=-1
當(dāng)x＞-1時，f′（x）=（x+1）e^x＞0；當(dāng)x＜-1時，f′（x）=（x+1）e^x＜0，
∴函數(shù)y=f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞減，在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)y=f（x）在x=-1時取得極小值-e^-1，但函數(shù)沒有極大值；
（Ⅱ）y′=

xf′(x)-f(x)

x2

=

xex(x-a+1)-ex(x-a)

x2

=

ex(x2-ax+a)

x2

，
由題意得x²-ax+a≥0對x∈[1，+∞）恒成立，
即a（x-1）≤x²對x∈[1，+∞）恒成立，當(dāng)x=1時不等式對a∈R恒成立，
當(dāng)x≠1時，不等式化為a≤

x2

x-1

=

(x-1)2+2(x-1)+1

x-1

=（x-1）+

1

x-1

+2，
由于x∈（1，+∞），所以（x-1）+

1

x-1

+2≥2+2=4（當(dāng)且僅當(dāng)x=2時時對等號），
所以a（x-1）≤x²對x∈（1，+∞）恒成立的條件是a≤4，
綜上得所求實數(shù)a的范圍為a≤4；
（Ⅲ）假設(shè)存在x=x₀，使得對任意不同的x₁，x₂都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

≠f′（x₀），即
f（x₂）-f（x₀）•x₂≠f（x₁）-f（x₀）•x₁
令g（x）=f（x）-f′（x₀）•x
∵函數(shù)g（x）=f（x）-f′（x₀）•x的圖象連續(xù)，且對任意不同的x₁，x₂有g(shù)（x₂）≠g（x₁），
∴g′（x）=f′（x）-g′（x₀）≤0（或≥0）對x∈R恒成立，
即存在x₀，使得f′（x₀）≥f′（x）（或f′（x₀）≤f′（x））對x∈R恒成立，
令h（x）=f′（x）=（x+1-a）•e^x，
令h′（x）=0得x=a-2，函數(shù)y=h（x）在（-∞，a-2）單調(diào)遞減，在（a-2，+∞）單調(diào)遞增，
∴函數(shù)y=h（x）在x=a-2取得最小值，
故存在x₀=a-2，使得f（x）的圖象上任意不同兩點連線的斜率都不等于f′（x₀）．

點評：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查推理能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等．