Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量a＝(x，y－)，b＝(kx，y＋)(k∈R)，a⊥b，動點M(x，y)的軌跡為T.

(1)求軌跡T的方程，并說明該方程表示的曲線的形狀．

(2)當(dāng)k＝時，已知點B(0，－)，是否存在直線l：y＝x＋m ，使點B關(guān)于直線l的對稱點落在軌跡T上？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解析：(1)∵a⊥b，∴ a·b＝(x，y－)·(kx，y＋)＝0，得kx²＋y²－2＝0，即kx²＋y²＝2.

當(dāng)k＝0時，方程表示兩條與x軸平行的直線；

當(dāng)k＝1時，方程表示以原點為圓心，以為半徑的圓；

當(dāng)k＞0且k≠1時，方程表示橢圓；

當(dāng)k＜0時，方程表示焦點在y軸上的雙曲線．

(2)當(dāng)k＝時，動點M的軌跡T的方程為＋＝1，

設(shè)滿足條件的直線l存在，點B關(guān)于直線l的對稱點為B′(x₀，y₀)，則由BB′⊥l得，＝－1，由BB′的中點在l上得＝＋m，解得x₀＝－－m，y₀＝m.

∵點B′(x₀，y₀)在橢圓上，∴＋＝1.整理得3m²＋2m－2＝0，解得m＝或m＝－.

∴直線l的方程為y＝x＋或y＝x－.

經(jīng)檢驗y＝x＋和y＝x－都符合題設(shè)．∴滿足條件的直線l存在，其方程為y＝x＋或y＝x－.