Question

4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且acosB=bcosA．
（1）求$\frac{a}$的值；
（2）若sinA=$\frac{1}{3}$，求sin（C-$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）應用正弦定理和已知條件可得 $\frac{cosA}{cosB}$=$\frac{sinA}{sinB}$，進而得到sin（A-B）=0，故有A-B=0，得到$\frac{a}$=1．
（2）由（1）可得A=B，A為銳角，利用同角三角函數(shù)關系式可求cosA，利用倍角公式可求sin2A，cos2A的值，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理及兩角和的正弦函數(shù)公式即可求值．

解答 解：∵在△ABC中，acosB=bcosA，
∴$\frac{a}$=$\frac{cosA}{cosB}$，又由正弦定理可得 $\frac{a}$=$\frac{sinA}{sinB}$，
∴$\frac{cosA}{cosB}$=$\frac{sinA}{sinB}$，sinAcosB-cosAsinB=0，sin（A-B）=0．
由-π＜A-B＜π 得，A-B=0，
∴a=b，即$\frac{a}$=1．
（2）∵A=B，A+B+C=π，A為銳角，sinA=$\frac{1}{3}$，
∴cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，sin2A=2sinAcosA=2×$\frac{1}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，cos2A=2cos²A-1=$\frac{7}{9}$，
∴sin（C-$\frac{π}{4}$）=sin（π-2A-$\frac{π}{4}$）=sin（2A+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sin2A+cos2A）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{4\sqrt{2}}{9}$+$\frac{7}{9}$）=$\frac{8+7\sqrt{2}}{18}$．

點評 本題考查了三角形的形狀判斷，考查了三角形內(nèi)角和定理，涉及的知識有正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)三角函數(shù)值求角的大小，推出sin（A-B）=0 是解題的關鍵．