Question

12．設a∈R，則“a=1是“f（x）=ln（a+$\frac{2}{x-1}$）為奇函數(shù)”的（　　）

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質，以及充分條件和必要條件的定義進行判斷．

解答 解：若a=1時，f（x）=ln（1+$\frac{2}{x-1}$）=ln$\frac{x+1}{x-1}$，
由$\frac{x+1}{x-1}＞0$，解得x＜-1或x＞1，
∴函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞）關于原點對稱；
又f（-x）+f（x）=ln$\frac{x+1}{x-1}$+ln$\frac{-x+1}{-x-1}$=ln（$\frac{x+1}{x-1}$•$\frac{x-1}{x+1}$）=ln1=0，
即f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．即充分性成立．
若f（x）=ln（a+$\frac{2}{x-1}$）為奇函數(shù)，則f（-x）+f（x）=ln（a+$\frac{2}{x-1}$）+ln（a+$\frac{2}{-x-1}$）=0，
化為（a-1）[（a+1）（x²-1）+4]=0，此式對于定義域內的任意x皆成立，必有a=1，
由上面可知a=1滿足題意，即必要性成立．
故“a=1”是“f（x）=ln（a+$\frac{2}{x-1}$）為奇函數(shù)”的充要條件．
故選：C．

點評 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質結合對數(shù)的運算性質是解決本題的關鍵．