已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），經(jīng)過點(diǎn)（3，-2）與向量（-1，1）平行的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交x軸于M點(diǎn)，又
AM
=2
MB
．
（Ⅰ）求橢圓C長軸長的取值范圍；
（Ⅱ）若|
AB
|=
3
2
2
，求橢圓C的方程．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：
分析：（I）設(shè)直線l與橢圓C交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，和x軸交于M（1，0）點(diǎn)．，由已知條件推導(dǎo)出y1=-2y2，（a2+b2 ）y2-2b2y+b 2 （1-a2）=0，b2=
a2(1-a2)
a2-9
，a2+b2＞1，由此能求出橢圓長軸長的取值范圍．
（II）由橢圓弦長公式得到|AB|=
2
2
ab
a2+b2-1
a2+b2
=
3
2
2
，由此能求出橢圓C的方程．
解答： 解：（I）設(shè)直線l與橢圓C交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，和x軸交于M（1，0）點(diǎn)．
由
AM
=2
MB
，知y1=-2y2，
將x=1-y代入
x2
a2
+
y2
b2
=1，得（a2+b2 ）y2-2b2y+b 2 （1-a2）=0，①
由韋達(dá)定理，知
y1+y2=
2b2
a2+b2
=-y2，②
y1y2=
b2(1-a2)
a2+b2
=-2y22，③

②2
③
得b2=
a2(1-a2)
a2-9
，④
對方程①由△=4b4-4b2（a2+b2）（1-a2）＞0，得a2+b2＞1．⑤
將④代入⑤，得a2+
a2(1-a2)
a2-9
＞1，解得1＜a2＜9，
又由a＞b及④，得a2＜5，∴1＜a2＜5，∴1＜a＜
5
．
∴所求橢圓長軸長的取值范圍是（2，2
5
）．
（II）由（I）中②③得，
|AB|=
2
|y1-y2|=
2
•
(y1+y2)2-4y1y2

=
2
2
ab
a2+b2-1
a2+b2
，
∵|
AB
|=
3
2
2
，∴
2
2
ab
a2+b2-1
a2+b2
=
3
2
2
，⑥
聯(lián)立④⑥，解得a2=3，b2=1，
∴橢圓C的方程為
x2
3
+y2=1．
點(diǎn)評：本題考查橢圓長軸長的取值范圍的求法，考查橢圓方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1+a3=
5
2
，a2+a4=
5
4
，則
Sn
an
=（　�。�
A、4n-1
B、4n-1
C、2n-1
D、2n-1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)雙曲線C：
x2
a2
-
y2
3
=1（a＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），則雙曲線C的方程是（　�。�
A、
x2
16
-
y2
3
=1
B、
x2
12
-
y2
3
=1
C、
x2
8
-
y2
3
=1
D、
x2
4
-
y2
3
=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時(shí)f（x）＞1，且對任意的實(shí)數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）求f（0），判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）數(shù)列{an}滿足a1=f（0），且f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N*)．
①求{an}的通項(xiàng)公式；
②當(dāng)a＞1時(shí)，不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
（loga+1x-logax+1）對不小于2的正整數(shù)恒成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【理科】已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，一條準(zhǔn)線方程為x=
3
2
，且與橢圓
x2
25
+
y2
13
=1有共同的焦點(diǎn)．
（1）求此雙曲線的方程；
（2）設(shè)直線：y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，試問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得以弦AB為直徑的圓過點(diǎn)O？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的兩條漸近線為
l1，l2，過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使l⊥l1，又l與l2交于P，設(shè)l與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為A、B（如圖）．
（1）當(dāng)l1與l2的夾角為60°，且△POF的面積為
3
2
時(shí)，求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)
FA
=λ
AP
時(shí)，求當(dāng)λ取到最大值時(shí)橢圓的離心率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x），若存在x0∈R，使得f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)．已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0），滿足
f(0)≥1
f(1+sinα)≤1(α∈R)
，且f（x）有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x1，x2，記函數(shù)f（x）的對稱軸為x=x0，求證：如果x1＜2＜x2＜4，那么x0＞-1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【理科】拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)是圓x2+y2-4x=0的圓心．
（1）求拋物線的方程；
（2）直線l的斜率為2，且過拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長；
（3）過點(diǎn)P（1，1）引拋物線的一條弦，使它被點(diǎn)P平分，求這條弦所在的直線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知球面面積為16π，A、B、C為球面上三點(diǎn)，且AB=2，BC=1，AC=
3
，則球心到平面ABC的距離為
 
．

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