Question

對于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使得f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的不動點．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0），滿足

f(0)≥1 f(1+sinα)≤1(α∈R)

，且f（x）有兩個不動點x₁，x₂，記函數(shù)f（x）的對稱軸為x=x₀，求證：如果x₁＜2＜x₂＜4，那么x₀＞-1．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由已知求出c=1后，進而根據(jù)有x₁＜2＜x₂＜4轉(zhuǎn)化為g（x）=f（x）-x=0有兩根：一根在2與4之間，另一根在2的左邊，利用一元二次方程根的分布可證．

解答： 證明：二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0），滿足

f(0)≥1 f(1+sinα)≤1(α∈R)

，
∴

f(0)≥1 f(0)≤1

，即f（0）=1，
∴f（x）=ax²+bx+1，
設(shè)g（x）=f（x）-x=ax²+（b-1）x+1，
∵a＞0，
∴由條件x₁＜2＜x₂＜4，
得g（2）＜0，g（4）＞0．
即

4a+2b-1＜0 16a+4b-3＞0

，

由可行域可得

b

a

＜2，
∴x₀=-

b

2a

＞-1．

點評：考查學生方程與函數(shù)綜合運用的能力，分類討論的數(shù)學思想，以及靈活運用不等式解決數(shù)學問題的能力．