【題目】已知橢圓C1 + =1,圓C2:x2+y2=t經(jīng)過橢圓C1的焦點.
(1)設(shè)P為橢圓上任意一點,過點P作圓C2的切線,切點為Q,求△POQ面積的取值范圍,其中O為坐標(biāo)原點;
(2)過點M(﹣1,0)的直線l與曲線C1 , C2自上而下依次交于點A,B,C,D,若|AB|=|CD|,求直線l的方程.

【答案】
(1)

解:橢圓C1 + =1的焦點坐標(biāo)為(± ,0),則t=2,

設(shè)P(x,y),則丨PO丨= = =

由x2∈[0,6],則丨PO丨∈[2, ],

則△POQ面積S,S= × × ∈[1, ],

△POQ面積的取值范圍[1, ]


(2)

解:設(shè)直線l的方程為:x=my﹣1;

聯(lián)立 ,消去x,整理得(2m2+3)y2﹣4my﹣10=0,

設(shè)A(x1,y1),D(x2,y2),則y1+y2=

聯(lián)立 ,消去x,得(m2+1)y2﹣2my﹣1=0,

設(shè)B(x3,y3),D(x3,y4),則y3+y4=

又丨AB丨=丨CD丨,則 = ,即y3﹣y1=y2﹣y4,

從而y1+y2=y3+y4,即 = ,解得m=0,

∴直線l的方程為x=﹣1.


【解析】(1)由題意的焦點坐標(biāo),求得t的值,則丨PO丨∈[2, ],利用三角形的面積公式,即可求得△POQ面積的取值范圍;(2)將直線l的方程,代入橢圓方程及圓的方程,利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,即可求得m的值,求得直線直線l的方程.

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A.
B.
C.
D.

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C.P2 , P4
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