Question

設(shè)點(diǎn)M在曲線y=e^x上，點(diǎn)N在曲線y=1-

1

x

（x＞0）上，則|MN|的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求兩個(gè)曲線上不同兩點(diǎn)的距離的最小值，顯然沒法利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算，可結(jié)合函數(shù)y=e^x上的點(diǎn)關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)在其反函數(shù)的圖象上把問題轉(zhuǎn)化為求曲線y=lnx上的點(diǎn)與y=1-

1

x

（x＞0）上的點(diǎn)到直線y=x的距離之和最小問題，而與y=x平行的直線同時(shí)與曲線y=lnx和y=1-

1

x

（x＞0）切于同一點(diǎn)（1，0），所以PQ的距離的最小值為（1，0）點(diǎn)到直線y=x距離的2倍．

解答： 解：曲線y=e^x與曲線y=lnx互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，
設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-（1-

1

x

），則f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，x＞1時(shí)，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有最小值f（1）=0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，除（1，0）點(diǎn)外函數(shù)y=lnx的圖象恒在y=1-

1

x

的上方，在（1，0）處兩曲線相切．
求曲線y=e^x上的點(diǎn)M與曲線y=1-

1

x

（x＞0）上的點(diǎn)N的距離的最小值，可看作是求曲線y=lnx上的點(diǎn)M′與N點(diǎn)到直線y=x的距離的最小值的和，而函數(shù)y=lnx與y=1-

1

x

（x＞0）在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)都是1，說明與直線y=x平行的直線與兩曲線切于同一點(diǎn)（1，0），則MN的距離的最小值為（1，0）點(diǎn)到直線y=x距離的2倍，
∴|MN|的最小值為2•

1

1+1

=

2

．
故答案為：

2

．

點(diǎn)評(píng)：：本題考查了兩點(diǎn)間的距離，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是分析得到函數(shù)y=lnx的圖象除（1，0）點(diǎn)外恒在y=1-

1

x

的上方，且在（1，0）處兩曲線相切．此題屬于中檔題．