【題目】已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)_______

【答案】

【解析】

(i)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=3x2+1,令f(x)=0,解得x=±,函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，舍去。

(ii)當(dāng)a≠0時(shí),f′(x)=3ax26x=3ax(x),令f′(x)=0,解得x=0或2a.

①當(dāng)a<0時(shí), <0,當(dāng)x<或x>0時(shí),f′(x)<0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)<x<0時(shí),f′(x)>0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增。

∴是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),0是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)。

∵函數(shù)f(x)=ax33x2+1存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0<0,則，無解，舍去。

②當(dāng)a>0時(shí), >0,當(dāng)x>或x<0時(shí),f′(x)>0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)0<x<時(shí),f′(x)<0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減。

∴是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),0是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)。

∵函數(shù)f(x)=ax33x2+1存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0<0,則f(>0,即+1>0，a>0，解得a>2.

綜上可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,+∞).

故答案為：(2,+∞).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：

性別
是否需要志愿者

男

女

需要

40

30

不需要

160

270

（1）估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；

（2）請(qǐng)根據(jù)上面的數(shù)據(jù)分析該地區(qū)的老年人需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)嗎

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線焦點(diǎn)為，點(diǎn)A，B，C為該拋物線上不同的三點(diǎn)，且滿足.

（1）求；

（2）若直線交軸于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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【題目】在投擲骰子試驗(yàn)中，根據(jù)向上的點(diǎn)數(shù)可以定義許多事件，如：A={出現(xiàn)1點(diǎn)}，B={出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)}，C={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)}，D={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)}.

(1)說明以上4個(gè)事件的關(guān)系.

(2)求兩兩運(yùn)算的結(jié)果.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙、丙三人組成一個(gè)小組參加電視臺(tái)舉辦的聽曲猜歌名活動(dòng)，在每一輪活動(dòng)中，依次播放三首樂曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜錯(cuò)，則活動(dòng)立即結(jié)束；若三人均猜對(duì)，則該小組進(jìn)入下一輪，該小組最多參加三輪活動(dòng)．已知每一輪甲猜對(duì)歌名的概率是，乙猜對(duì)歌名的概率是，丙猜對(duì)歌名的概率是，甲、乙、丙猜對(duì)與否互不影響．

(I)求該小組未能進(jìn)入第二輪的概率；

(Ⅱ)記乙猜歌曲的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)高三年級(jí)有學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人。為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是否與性別有關(guān)，采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)了他們期中考試的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)，然后按照性別分為男、女兩組，再將兩組的分?jǐn)?shù)分成5組： 分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖。

（I）從樣本分?jǐn)?shù)小于110分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求兩人恰為一男一女的概率；

（II）若規(guī)定分?jǐn)?shù)不小于130分的學(xué)生為“數(shù)學(xué)尖子生”，請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)尖子生與性別有關(guān)”?

附表：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)， 為正實(shí)數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求證： ；

（3）若函數(shù)有且只有個(gè)零點(diǎn)，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線的參數(shù)方程為若以直角坐標(biāo)系xOy的O點(diǎn)為極點(diǎn)，Ox方向?yàn)闃O軸，選擇相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程為

(1)求直線的斜率和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線與曲線C交于A、B 兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，求|PA|+|PB|.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽．假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．

(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；

(2)記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)．

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