Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3x+5（x∈R），若關(guān)于x的方程f（x）=a有三個不同實根，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：令g（x）=f（x）-a=x³-3x+5-a，然后對函數(shù)求導(dǎo)，求出極值點，判定函數(shù)的單調(diào)性，要至少有兩個不同實根，則g（-1）≥0且g（1）≤0，解之即可求出a的范圍．

解答： 解：令g（x）=f（x）-a=x³-3x+5-a，
則g′（x）=3x²-3，
令g′（x）=0，
解得：x=-1，或x=1．
當(dāng)x＜-1或x＞1時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）為增函數(shù)，
當(dāng)-1＜x＜1時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）為減函數(shù)，
要使關(guān)于x的方程f（x）=a有三個不同實根，則g（-1）=-1+3+5-a＞0且g（1）=1-3+5-a＜0．
解得3＜a＜7，
故答案為：（3，7）

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)與方程的思想，屬于中檔題．