已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形．PB=PD，E為PA的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：平面PAC⊥平面BDE．

解：（Ⅰ）設(shè)O為AB、CD的交點(diǎn)，連接EO
∵E，O分別為PA，AC的中點(diǎn)，
∴EO∥PC．
∵EO?平面BDE，PC?平面BDE
∴PC∥平面BDE．…（6分）
（Ⅱ）證明：連接OP
∵PB=PD，O為BD的中點(diǎn)
∴OP⊥BD．
又∵在菱形ABCD中，BD⊥AC
且OP∩AC=O
∴BD⊥平面PAC
∵BD?平面BDE
∴平面PAC⊥平面BDE． …（13分）
分析：（I）設(shè)菱形對角線的交點(diǎn)為O，連接EO，可得OE是三角形APC的中位線，得到EO∥PC，結(jié)合直線與平面平行的判定定理，得到PC∥平面BDE；
（II）連接PO，利用等腰三角形的中線與高合一，得到OP⊥BD．再根據(jù)菱形ABCD中，BD⊥AC，結(jié)合直線與平面垂直的判定定理，得到BD⊥平面PAC．最后用平面與平面垂直的判定定理，得到平面PAC⊥平面BDE．
點(diǎn)評：本題以四棱錐為例，考查了空間的直線與平面平行的判定，以及平面與平面垂直的判定，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點(diǎn)，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，側(cè)面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求證：PA⊥BD
（3）若二面角D-PA-O的余弦值為
10
5
，求PB的長．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，E為BC中點(diǎn)，AE與BD交于O點(diǎn)，AB=BC=2CD=2，BD⊥PE．
（1）求證：平面PAE⊥平面ABCD； 
（2）若直線PA與平面ABCD所成角的正切值為
5
2
，PO=2，求四棱錐P-ABCD的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，E是線段PC上一點(diǎn)，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAB．
（Ⅱ）若PA=4，AB=2，BC=1，求直線AC與平面PCD所成角的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年山東省濟(jì)寧一中高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點(diǎn)，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案