Question

如圖，在直三棱柱（側棱和底面垂直的棱柱）中，平面側面，,，且滿足.

（1）求證：；

（2）求點的距離；

（3）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

（1）證明見解析，（2），（3）

【解析】

試題分析：如何用平面側面？由面面垂直的性質(zhì)定理，過作，垂足為，可知，有，又，則，于是即可；第二步求點到直線的距離有兩種方法：（1）利用體積相等，（2）利用空間向量的坐標運算，直接求法向量，用公式；第三步求二面角的平面角的余弦值可運用求法向量的方法求之.

試題解析：（1）證明：如右圖，過作，垂足為，因平面側面， 且平面側面，可知，有，又，，則,又平面，所以.因為三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，則底面，所以.又,從而側面，又側面，故

.

（2）由（1）知，以點為坐標原點，以所在的直線分別為軸、軸、軸，可建立如圖所示的空間直角坐標系， ，

又由線段上分別有一點，滿足，所以，，

所以,

所以點的距離.

（3）設平面 的法向量為，易知平面 的法向量可以為.由，令，則，可得平面 的一個法向量可為，設與的夾角為.則，易知二面角的平面角為鈍角，故應為角的補角，所以其余弦值為.

考點：1.線線垂直、線面垂直、面面垂直的轉(zhuǎn)化；2.求點到平面距離；3.二面角；