Question

18．方程-sinx=（$\frac{1}{2}$）^x在區(qū)間（0，100π）內(nèi)解的個數(shù)是（　�。�

• A． 98
• B． 100
• C． 102
• D． 200

Answer 1

分析 分別討論函數(shù)y=-sinx與y=（ $\frac{1}{2}$）^x的單調(diào)性與最值，可得y=-sinx與y=$（\frac{1}{2}）^{x}$在區(qū)間（0，2π）上有兩個零點，然后判斷方程解的個數(shù)．

解答 解：∵函數(shù)y=-sinx在（0，$\frac{π}{2}$），（$\frac{3π}{2}$，2π）上是減函數(shù)、在（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）上是增函數(shù)，-sin0=-sin2π=0，-sin$\frac{π}{2}$=-1，-sin$\frac{3π}{2}$=1
∴函數(shù)y=-sinx在x=$\frac{3π}{2}$有最大值1，在x=$\frac{π}{2}$處有最小值為-1
又∵y=（$\frac{1}{2}$）^x在區(qū)間（0，100π）上為減函數(shù)，x＞0時，y∈（0，1），
∴y=-sinx與y=$（\frac{1}{2}）^{x}$在區(qū)間（0，2π）上有兩個零點，
在x∈（0，100π）y=-sinx有50個周期，方程-sinx=（$\frac{1}{2}$）^x在區(qū)間（0，100π）內(nèi)解的個數(shù)共有100個．
故選：B．

點評 本題給出含有三角函數(shù)和指數(shù)的函數(shù)，討論函數(shù)在區(qū)間（0，2π）上的零點個數(shù)．著重考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、基本初等函數(shù)的單調(diào)性與最值等知識，屬于中檔題．