Question

7．已知函數(shù)f（x）=$2cos（2x+\frac{π}{6}）$，（x∈R）給出下面四個(gè)命題，
①函數(shù)f（x）的最小正周期為2π
②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)$（\frac{π}{6}，0）$對(duì)稱
③函數(shù)f（x）的圖象可由y=2cos2x的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到
④函數(shù)$f（x+\frac{π}{6}）$是奇函數(shù)，
以上正確的命題是（　�。�

• A． ①②
• B． ③④
• C． ②④
• D． ②③

Answer 1

分析 由條件利用誘導(dǎo)公式、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性以及它們的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論．

解答 解：對(duì)于函數(shù)f（x）=$2cos（2x+\frac{π}{6}）$，它的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，故①不正確．
當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時(shí)，函數(shù)f（x）=2cos$\frac{π}{2}$=0，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)$（\frac{π}{6}，0）$對(duì)稱，故②正確．
y=2cos2x的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到函數(shù)y=2cos2（x+$\frac{π}{6}$）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$），故③不正確．
函數(shù)$f（x+\frac{π}{6}）$=2cos[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2cos（2x+$\frac{π}{2}$）=-sin2x，是奇函數(shù)，故④正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性以及它們的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．