Question

已知橢圓C₁：

x2

2

+y²=1．
（Ⅰ）我們知道圓具有性質(zhì)：若E為圓O：x²+y²=r²（r＞0）的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的斜率k_AB與直線OE的斜率k_OE的乘積k_AB•k_OE為定值．類比圓的這個(gè)性質(zhì)，寫出橢圓C₁的類似性質(zhì)，并加以證明；
（Ⅱ）如圖（1），點(diǎn)B為C₁在第一象限中的任意一點(diǎn)，過(guò)B作C₁的切線l，l分別與x軸和y軸的正半軸交于C，D兩點(diǎn)，求三角形OCD面積的最小值；
（Ⅲ）如圖（2），過(guò)橢圓C₂：

x2

8

+

y2

2

=1上任意一點(diǎn)P作C₁的兩條切線PM和PN，切點(diǎn)分別為M，N．當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C₂上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在定圓恒與直線MN相切？若存在，求出圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)差法得到

(x1-x2)(x1+x2)

2

+(y1+y2)(y1-y2)=0，轉(zhuǎn)化為過(guò)A，B兩點(diǎn)直線的斜率及原點(diǎn)與AB中點(diǎn)連線的斜率得答案；
（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）中的結(jié)論得到過(guò)橢圓上的B的切線的斜率，寫出過(guò)點(diǎn)B的切線方程，求出切線在兩坐標(biāo)軸上的截距，代入三角形的面積公式，再由B點(diǎn)在橢圓上借助于基本不等式求出三角形OCD的面積的最小值；
（Ⅲ）設(shè)出P（m，n），寫出橢圓在點(diǎn)M（x₃，y₃）處的切線方程，代入P點(diǎn)的坐標(biāo)，即可說(shuō)明點(diǎn)M（x₃，y₃）在直線

x

2

m+yn=1上，同理說(shuō)明點(diǎn)N（x₄，y₄）在直線

x

2

m+yn=1上，由此得到直線MN的方程，求得原點(diǎn)到MN的距離為定值說(shuō)明存在定圓恒與直線MN相切．

解答： 解：（Ⅰ）若A，B為橢圓C₁：

x2

2

+y²=1上相異的兩點(diǎn)，E（x₀，y₀）為A，B中點(diǎn)，
則直線AB的斜率k_AB與直線OP的斜率k_OE的乘積k_OE•k_AB必為定值；
證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x12 2 +y12=1 x22 2 +y22=1

，
兩式作差得：

(x1-x2)(x1+x2)

2

+(y1+y2)(y1-y2)=0，
∵僅考慮斜率存在的情況，
∴x₀+2y₀•k_AB=0，即k_OE•k_AB=-

1

2

；
（Ⅱ）如圖，

當(dāng)點(diǎn)A無(wú)限趨近于點(diǎn)B時(shí)，割線AB的斜率就等于橢圓上的B的切線的斜率k，即k•kOB=-

1

2

，k=-

x2

2y2

．
∴點(diǎn)B處的切線QB：y-y2=-

x2

2y2

(x-x2)，即

x2

2

x+y2y=1，
令x=0，yD=

1

y2

，令y=0，xC=

2

x2

，
∴S_△OCD=

1

2

×

2

x2y2

=

1

x2y2

．
又點(diǎn)B在橢圓的第一象限上，
∴x₂＞0，y₂＞0，

x22

2

+y22=1，
∴1=

x22

2

+y22≥2

x22 2 •y22

=

2

x2y2，
∴S△OCD=

1

x2y2

=

2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)

x22

2

=y22，即x2=

2

y2=1時(shí)取最小值．
∴當(dāng)B(1，

2

2

)時(shí)，三角形OCD的面積的最小值為

2

；
（Ⅲ）設(shè)P（m，n），由（Ⅱ）知點(diǎn)M（x₃，y₃）處的切線為：

x3

2

x+y3y=1．
又PM過(guò)點(diǎn)P（m，n），
∴

x3

2

m+y3n=1，又可理解為點(diǎn)M（x₃，y₃）在直線

x

2

m+yn=1上．
同理點(diǎn)N（x₄，y₄）在直線

x

2

m+yn=1上，
∴直線MN的方程為：

m

2

x+ny=1．

∴原點(diǎn)O到直線MN的距離d=

1

m2 4 +n2

=

2

2

，
∴直線MN始終與圓x2+y2=

1

2

相切．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線、圓、橢圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查類比推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查一般到特殊的思想方法、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．考查數(shù)學(xué)綜合分析問(wèn)題的能力以及創(chuàng)新能力，是壓軸題．