Question

如圖，平面四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=BD=6，O為AC，BD的交點(diǎn)．將四邊形ABCD沿對(duì)角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，且BD=3

2

．
（Ⅰ）若M點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，求證：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-O的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知條件知O為AC中點(diǎn)，所以O(shè)M∥AB，從而根據(jù)線面平行的判定定理得到OM∥平面ABD；
（Ⅱ）根據(jù)已知條件可得到∠BOD=90°，從而得到三條直線OD，OC，OB兩兩垂直，從而可分別以這三條直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．取BD中點(diǎn)E，連接OE，AE，便可說明∠AEO是二面角A-BD-O的平面角，而∠AEO等于向量

OE

，

AE

的夾角，所以求向量

OE

，

AE

的坐標(biāo)，代入兩向量夾角的余弦公式求cos∠AEO即可．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)已知條件知四邊形ABCD是菱形，O是AC中點(diǎn)；
又M點(diǎn)是BC中點(diǎn)，∴OM是△ABC的中位線；
∴OM∥AB，AB?平面ABD，OM?平面ABD；
∴OM∥平面ABD；
（Ⅱ）如圖，根據(jù)已知OB=OD=3，BD=3

2

；
∴∠BOD=90°，即OB⊥OD，又由已知條件OD⊥OC，OC⊥OB；
∴OD，OC，OB三條直線兩兩垂直，所以分別以這三條直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系；
則能確定以下幾點(diǎn)坐標(biāo)：
O（0，0，0），A（（0，-3

3

，0），B（0，0，3），D（3，0，0）；
取BD中點(diǎn)E并連接OE，AE，∵OB=OD，AB=AD；
∴BD⊥OE，BD⊥AE；
∴∠AEO是二面角A-BD-O的平面角，∠AEO等于向量

OE

，

AE

的夾角；
E（

3

2

，0，

3

2

），

OE

=(

3

2

，0，

3

2

)，

AE

=(

3

2

，3

3

，

3

2

)；
∴cos∠AEO=

OE • AE

| OE || AE |

=

9 2

9 7 2

=

7

7

；
∴二面角A-BD-O的余弦值為

7

7

．

點(diǎn)評(píng)：考查線面平行的判定定理，通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求二面角的方法，以及二面角的平面角的概念，兩向量夾角的余弦公式的坐標(biāo)運(yùn)算．