Question

已知向量

a

=（2cosx，

2

cosx-1），

b

=（

3

sinx，

2

cosx+1），函數(shù)f（x）=

a

•

b

，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的

1

2

，把所得到的圖象再向左平移

π

6

單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，

π

8

]上的最大值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)的周期性及其求法,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用數(shù)量積運算、倍角公式、兩角和差的正弦公式可得函數(shù)f（x）=

a

•

b

=2sin(2x+

π

6

)，即可得出函數(shù)f（x）的最小正周期T=π，
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，（k∈Z）．解出即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．．
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的

1

2

，把所得到的圖象再向左平移

π

6

單位，得到函數(shù)y=g（x）=2sin(4x+

5π

6

)的圖象．再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出其最大值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

a

•

b

=2

3

sinxcosx+2cos2x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=π，
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

解得kπ+

π

6

≤x≤kα+

2π

3

，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）．
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的

1

2

，把所得到的圖象再向左平移

π

6

單位，
得到函數(shù)y=g（x）=2sin(4x+

5π

6

)的圖象．
∵x∈[0，

π

8

]，∴(4x+

5π

6

)∈[

5π

6

，

4π

3

]，
∴當(dāng)x=0時，g（x）_max=1．

點評：本題綜合考查了數(shù)量積運算、倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角函數(shù)的圖象變換等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．