Question

如圖，梯形BCDE中，DE∥BC，CD⊥DE，ED=DC=

2

，AB=BC=2

2

，AB⊥面BCDE，F(xiàn)為AB中點．
求證：
（Ⅰ）EF∥面ACD；
（Ⅱ）CE⊥面ABE；
（Ⅲ）求三棱錐D-AEC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取AC中點G，連接FG，DG，證明四邊形FGDE是平行四邊形，可得FE∥GD，即可證明EF∥面ACD；
（Ⅱ）取BC中點K，連接EK，證明CE⊥BE，AB⊥CE，即可證明CE⊥面ABE；
（Ⅲ）利用V_D-AEC=V_A-DEC，求三棱錐D-AEC的體積．

解答： （Ⅰ）證明：取AC中點G，連接FG，DG，則FG∥BC，F(xiàn)G=

1

2

BC，
∵DE∥BC，DE=

1

2

BC，
∴DE∥GF，DE-GF，
∴四邊形FGDE是平行四邊形，
∴FE∥GD，
∵FE?面ACD，GD?面ACD，
∴EF∥面ACD；
（Ⅱ）證明：取BC中點K，連接EK，則四邊形EDCK是正方形，
∴EK=CD=ED=

2

且CD⊥ED，
∴CE=2．
在Rt△EKB中，KC=BK=EK=

2

，
∴BE=2，
∵BC=2

2

，
∴BE²+CE²=BC²，
∴∠BEC=90°，即CE⊥BE，
∵AB⊥面BCDE，
∴AB⊥CE，
∵AB∩BE=B，
∴CE⊥面ABE；
（Ⅲ）解：V_D-AEC=V_A-DEC=

1

3

S△DCE×AB=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

×2

2

=

2 2

3

．

點評：本題主要考查線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，考查三棱錐D-AEC的體積，正確運用線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理是關(guān)鍵．