Question

2．已知圓O：x²+y²=4，動(dòng)直線l₁：x-ky+2k=0和l₂：kx+y-4k=0（k∈R）．
（1）試判斷直線l₁和圓O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）已知直線l₂與圓O相交，直線l₁被圓O截得的弦的中點(diǎn)為M，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）動(dòng)直線l₁經(jīng)過定點(diǎn)A（0，2），而點(diǎn)A在圓O上，由此可得直線l₁和圓O的位置關(guān)系．
（2）由l₂和圓O相交，可得弦心距小于半徑，求得k的范圍．設(shè)直線l₁被圓O截得的弦的中點(diǎn)為M（x，y），則線段OM和直線l₁垂直，它們的斜率之積等于-1，
即 $\frac{y}{x}$•$\frac{1}{k}$=-1，化簡可得結(jié)果．

解答 解：（1）動(dòng)直線l₁：x-ky+2k=0，即 x-k（y-2）=0，經(jīng)過定點(diǎn)A（0，2），
而點(diǎn)A在圓O：x²+y²=4上，故直線l₁：x-ky+2k=0和圓O至少有一個(gè)交點(diǎn)，故直線l₁和圓O相交或相切．
（2）由l₂：kx+y-4k=0和圓O：x²+y²=4相交，可得弦心距$\frac{|4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜2，求得k²＜$\frac{1}{3}$，即-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
設(shè)直線l₁被圓O截得的弦的中點(diǎn)為M（x，y），則線段OM和直線l₁垂直，∴$\frac{y}{x}$•$\frac{1}{k}$=-1，
即 y=-kx（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$ ），表示一條線段．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線經(jīng)過定點(diǎn)問題，直線和圓的位置關(guān)系，圓的弦的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．