Question

（本小題滿分14分）給定數(shù)列．對，該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為，后項(xiàng)的最小值記為，．

（Ⅰ）設(shè)數(shù)列為，寫出,,的值；

（Ⅱ）設(shè)（）是公比大于的等比數(shù)列，且．證明：是等比數(shù)列；

（Ⅲ）設(shè)是公差大于的等差數(shù)列，且．證明：是等差數(shù)列．

Answer 1

d2= 1，d3=3，d4=3

【解析】

試題分析：（Ⅰ）若{an}為2，1，4，3，2，1，4，3…，是一個(gè)周期為4的數(shù)列，∴d1=A1-B1=2-1=1，

d2=A2-B2=2-1=1，d3=A3-B3=4-1=3，d4=A4-B4=4-1=3．

（Ⅱ）充分性：設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則an=a1+（n-1）d，

∴An=an=a1+（n-1）d，Bn=an+1=a1+nd，∴dn=An-Bn=-d，（n=1，2，3，4…）．

必要性：若 dn=An-Bn=-d，（n=1，2，3，4…）．假設(shè)ak是第一個(gè)使ak-ak-1＜0的項(xiàng)，

則dk=Ak-Bk=ak-1-Bk≥ak-1-ak＞0，這與dn=-d≤0相矛盾，故{an}是一個(gè)不減的數(shù)列．

∴dn=An-Bn=an-an+1=-d，即 an+1-an=d，故{an}是公差為d的等差數(shù)列．

（Ⅲ）證明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），則{an}的項(xiàng)不能等于零，否則d1=2-0=2，矛盾．

而且還能得到{an}的項(xiàng)不能超過2，用反證法證明如下：

假設(shè){an}的項(xiàng)中，有超過2的，設(shè)am是第一個(gè)大于2的項(xiàng)，則dm=Am-Bm=am-1＞1，

這與已知dn=1相矛盾，故假設(shè)不對，

即{an}的項(xiàng)不能超過2，故{an}的項(xiàng)只能是1或者2．

下面用反證法證明{an}的項(xiàng)中，有無窮多項(xiàng)為1．

若ak是最后一個(gè)1，則ak是后邊的各項(xiàng)的最小值都等于2，故dk=Ak-Bk=2-2=0，矛盾，

故{an}的項(xiàng)中，有無窮多項(xiàng)為1．

綜上可得，{an}的項(xiàng)只能是1或者2，且有無窮多項(xiàng)為1．

考點(diǎn)：本題考查數(shù)列最值，等差數(shù)列和等比數(shù)列，推理論證能力，數(shù)據(jù)處理能力