Question

已知函數(shù)f(x)＝x³－ax＋1.
(1)求x＝1時(shí)，f(x)取得極值，求a的值；
(2)求f(x)在[0,1]上的最小值；
(3)若對(duì)任意m∈R，直線y＝－x＋m都不是曲線y＝f(x)的切線，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）1   （2）見解析   （3）(－∞，－1)

(1)因?yàn)閒′(x)＝x²－a，
當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得極值，所以f′(1)＝1－a＝0，a＝1.
又當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，f′(x)＜0，x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，
所以f(x)在x＝1處取得極小值，即a＝1符合題意．
(2)當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＞0對(duì)x∈(0,1)成立，
所以f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，f(x)在x＝0處取最小值f(0)＝1，
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′(x)＝x²－a＝0，x₁＝－，x₂＝，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，＜1，
x∈(0，)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，
x∈(，1)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，
所以f(x)在x＝處取得最小值f()＝1－.
當(dāng)a≥1時(shí)，≥1，
x∈[0,1]時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，
所以f(x)在x＝1處取得最小值f(1)＝－a.
綜上所述，
當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在x＝0處取最小值f(0)＝1；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x)在x＝處取得最小值f()＝1－；
當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)在x＝1處取得最小值f(1)＝－a.
(3)因?yàn)?m∈R，直線y＝－x＋m都不是曲線y＝f(x)的切線，
所以f′(x)＝x²－a≠－1對(duì)x∈R成立，
只要f′(x)＝x²－a的最小值大于－1即可，
而f′(x)＝x²－a的最小值為f(0)＝－a，
所以－a＞－1，即a＜1.
所以a的取值范圍是(－∞，－1)．