20．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：
（1）A1C⊥平面BDC1；
（2）求三棱錐A1-BDC1的體積．

分析 （1）A1A⊥底面ABCD，則AC是A1C在底面ABCD的射影，AC⊥BD，則A1C⊥BD，同理A1C⊥DC1，又BD∩DC1=D，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知A1C⊥平面BDC1．
（2）利用正方體的體積減去4個(gè)三棱錐的體積，即可求三棱錐A1-BDC1的體積．

解答 （1）證明：∵A1A⊥底面ABCD，則AC是A1C在底面ABCD的射影．
∵AC⊥BD．∴A1C⊥BD．
同理A1C⊥DC1，又BD∩DC1=D，
∴A1C⊥平面BDC1．
（2）解：三棱錐A1-BDC1的體積=1-4×$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查線面關(guān)系，以及三棱錐A1-BDC1的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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10．已知函數(shù)f（x）=ax+$\frac{a-1}{x}$+（1-2a）（a＞0）
（1）當(dāng)a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，比較f（x）與㏑x在[1，+∞）上的大小關(guān)系；
（2）證明：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＞㏑（n+1）+$\frac{n}{{2（{n+1}）}}$（n≥1）；
（3）已知S=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2014}$，求S的整數(shù)部分．（ln2014≈7.6079，ln2015≈7.6084）

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8．已知曲線C是由所有滿足方程$\sqrt{（x+m）^{2}+{y}^{2}}$=|$\frac{m}{3}$x+3|的點(diǎn)組成的，其中m是正常數(shù)．
（1）判斷曲線C的形狀，并說明理由；
（2）若直線y=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$（x+m）交C于不同的兩點(diǎn)P，Q，PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$，求曲線C的方程．

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15．已知an=n+2，從無窮數(shù)列{an}中抽取部分項(xiàng)a${\;}_{{k}_{1}}$，a${\;}_{{k}_{2}}$，…a${\;}_{{k}_{3}}$，…組成一個(gè)等比數(shù)列{bn}，其中1=k1＜k2＜k3＜…＜kn＜kn+1＜…，（n∈N*），kn∈N*，記這個(gè)等比數(shù)列的公比為q．
（1）求證：q∈N*，q≥2；
（2）求證：$\frac{{q}^{n}-1}{q-1}$（n∈N*）是正整數(shù)；
（3）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，若存在n∈N*，使Sn≥qn成立，求q的所有可能取值，并證明你的結(jié)論．

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5．已知△ABC的邊AB長(zhǎng)為2a，若BC的中線為定長(zhǎng)m，求頂點(diǎn)C的軌跡方程．

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1．在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，AB=BC=2，過A′，C′，B三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后，得到ABCD-A′C′D′，
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（Ⅱ）若DD′＞1，且直線A′D與平面A′BC′所成的角的正弦值為$\frac{4\sqrt{5}}{15}$，求二面角D-A′B-C′的平面角的余弦值．

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18．如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點(diǎn)E、F分別是邊CD、CB的中點(diǎn)，AC交EF于點(diǎn)O，沿EF將△CEF翻折到△PEF，連接PA、PB、PD，得到五棱錐P-ABFED，且PB=$\sqrt{10}$．

（1）求證：BD⊥平面POA；
（2）求四棱錐P-BDEF的體積；
（3）求二面角B-AP-O的正切值．

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19．如圖，平面EFGH分別平行于CD，AB，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在AC，AD，BD，BC上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB．
（1）求證：四邊形EFGH是矩形；
（2）點(diǎn)E在什么位置時(shí)，四邊形EFGH的面積最大？

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