Question

17．已知四邊形ABCD滿足AD∥BC，BA=AD=DC=$\frac{1}{2}$BC=a，E是BC的中點，將△BAE沿AE折起到△B₁AE的位置，使平面B₁AE⊥平面AECD，F(xiàn)為B₁D的中點．
（1）證明：B₁E∥平面ACF；
（2）求平面ADB₁與平面ECB₁所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明：B₁E∥平面ACF；
（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）連結(jié)ED交AC于O，連結(jié)OF，
因為AECD為菱形，OE=OD，
所以FO∥B₁E，
所以B₁E∥平面ACF．…（4分）
（2）取AE的中點M，連結(jié)B₁M，連結(jié)MD，則∠AMD=90°，
分別以ME，MD，MB₁為x，y，z軸建系，
則E（$\frac{a}{2}$，0，0），C（a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，0），A（-$\frac{a}{2}$，0，0），D（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，0），
B₁（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），
則$\overrightarrow{E{B}_{1}}$=（-$\frac{a}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\frac{a}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），
設(shè)面ECB₁的法向量為$\overrightarrow{u}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}ay=0}\\{-\frac{a}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}az=0}\end{array}\right.$，令x=1，則$\overrightarrow{u}$=（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），…（8分）
同理面ADB₁的法向量為$\overrightarrow{v}$=（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）…（10分）
所以cos＜$\overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{v}$＞=$\frac{1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}}{\sqrt{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}•\sqrt{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}}$=$\frac{3}{5}$，
故平面ADB₁與平面ECB₁所成銳二面角的余弦值為$\frac{3}{5}$   …（12分）

點評 本題主要考查空間平行的位置關(guān)系的判斷，以及二面角的應(yīng)用，建立空間坐標(biāo)系，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．