Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，點(diǎn)（a_n+1，S_n）（n∈N^*）恒在直線x-y-1=0上，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，且b₃=2，b₆=8．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若對(duì)?n∈N^*，（S_n+1）•k≥b_n恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過點(diǎn)（a_n+1，S_n）（n∈N^*）恒在直線x-y-1=0上，可得S_n=a_n+1-1，利用a_n+1=S_n+1-S_n，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，利用d=$\frac{_{6}-_{3}}{3}$，計(jì)算可得b_n=2n-4，條件等價(jià)于“對(duì)?n∈N^*，k≥$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$恒成立”，通過判斷c_n=$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$的單調(diào)性即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)（a_n+1，S_n）（n∈N^*）恒在直線x-y-1=0上，
∴a_n+1-S_n-1=0，即S_n=a_n+1-1，S_n+1=a_n+2-1，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=a_n+2-a_n+1，即$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=2，
又∵a₁=1，a₂=a₁+1=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為：a_n=2^n-1；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，
∵b₃=2，b₆=8，
∴d=$\frac{_{6}-_{3}}{3}$=$\frac{8-2}{3}$=2，b₁=b₃-2d=2-2×2=-2，
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)為：b_n=-2+2（n-1）=2n-4，
又由（1）知S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
∴“對(duì)?n∈N^*，（S_n+1）•k≥b_n恒成立”等價(jià)于“對(duì)?n∈N^*，2ⁿ•k≥2n-4恒成立”，
即k≥$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$恒成立，記c_n=$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$，
則c_n+1-c_n=$\frac{n-1}{{2}^{n}}$-$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$=$\frac{-n+3}{{2}^{n}}$，
∴當(dāng)n≤3時(shí)，c_n+1≥c_n；當(dāng)n≥4時(shí)，c_n+1＜c_n；
∴（c_n）_max=c₄=$\frac{4-2}{{2}^{4-1}}$=$\frac{1}{4}$，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為：[$\frac{1}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．