己知f′(x)為函數(shù)f(x)=x+
1
x
的導函數(shù),則下列結論中正確的是( 。
A、?x0∈R,?x∈R且x≠0,f(x)≤f(x0
B、?x0∈R,?x∈R且x≠0,f(x)≥f(x0
C、?x0∈R,?x∈(x0,+∞),f′(x)<0
D、?x0∈R,?x∈(x0,+∞),f′(x)>0
分析:根據(jù)基本不等式求出函數(shù)的最值即可判斷A,B,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C,D.
解答:解:∵f(x)=x+
1
x
,
∴x≠0,f'(x)=1-
1
x2
=
x2-1
x2

當x>0時,f(x)=x+
1
x
≥2,
當x<0時,f(x)=x+
1
x
≤-2,
∴在定義域上函數(shù)f(x)沒有最值,∴A,B錯誤.
由f'(x)=1-
1
x2
=
x2-1
x2
<0,解得-1<x<0或0<x<1,
∴不存在x0∈R,?x∈(x0,+∞),使f′(x)<0成立,∴C錯誤.
由f'(x)=1-
1
x2
=
x2-1
x2
>0,解得x<-1或x>1,
∴存在x0>1,?x∈(1,+∞),使f′(x)>0成立,∴D正確.
故選:D.
點評:本題主要考查函數(shù)f(x)=x+
1
x
的最值以及單調(diào)性的性質的應用,利用導數(shù)和基本不等式是解決本題的關鍵.
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logax
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(x<1)
,則實數(shù)a的取值范圍為
[
1
6
,
1
2
[
1
6
,
1
2

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