Question

設(shè)△ABC是銳角三角形，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，并且cos2A=cos2B-sin(

π

3

+B)cos(

π

6

+B)．
（1）求角A的值；
（2）若△ABC的面積為6

3

，求邊a的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)條件可得cosA=±

1

2

，再由△ABC是銳角三角形可得A 的值．
（2）由△ABC的面積為6

3

，求得 bc=24，再由余弦定理以及基本不等式求出a²的最小值，從而求得邊a的最小值．

解答：解：（1）由 cos2A=cos2B-sin(

π

3

+B)cos(

π

6

+B)可得
cos²A=cos²B-（sin

π

3

cosB+cos

π

3

sinB）•（cos

π

6

cosB+sin

π

6

sinB）
=cos²B-（

3

4

cos²B-

1

4

sin²B）=

1

4

cos²B+

1

4

sin²B=

1

4

，
可得cosA=±

1

2

，再由△ABC是銳角三角形可得A=

π

3

．
（2）由△ABC的面積為6

3

，可得

1

2

bc•sinA=6

3

，解得 bc=24．
再由余弦定理可得a²=b²+c²-2bc•cosA=b²+c²-24．
再由基本不等式可得 a²=b²+c²-24≥2bc-24=48-24=24，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，
故邊a的最小值為2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，余弦定理以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．