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設△ABC是銳角三角形,a,b,c分別是內角A,B,C所對邊長,并且sin2A=sin(
π
3
+B)sin(
π
3
-B)+sin2B

(Ⅰ)求角A的值;
(Ⅱ)若
AB
AC
=12,a=2
7
,求b,c(其中b<c).
分析:(1)先根據兩角和與差的正弦公式展開得到角A的正弦值,再由角A的范圍確定角A的值.
(2)先根據向量數量積的運算和角A的值得到cb=24,再由a=2
7
和余弦定理可求出b,c的值.
解答:解:(1)因為sin2A=(
3
2
cosB+
1
2
sinB)
3
2
cosB-
1
2
sinB
)+sin2B
=
3
4
cos2B-
1
4
sin2B+sin2B
=
3
4

所以sinA=±
3
2
.又A為銳角,所以A=
π
3

(2)由
AB
AC
=12
可得,cbcosA=12    ①
由(1)知A=
π
3
,所以cb=24   ②
由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA,將a=2
7
及①代入可得c2+b2=52③
③+②×2,得(c+b)2=100,所以c+b=10
因此,c,b是一元二次方程t2-10t+24=0的兩根
解此方程并由c>b知c=6,b=4
點評:本題主要考查兩角和與差的正弦公式和余弦定理的應用.屬基礎題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

設△ABC是銳角三角形,a、b、c分別是內角A、B、C所對邊長,已知向量
m
=(sin(
π
3
+B),sinB-sinA),
n
=(sin(
π
3
-B),sinB+sinA)
,若
m
n

(1)求角A的值
(2)若a=3
3
,b=2c
,求三角形面積S△ABC

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科目:高中數學 來源: 題型:

設△ABC是銳角三角形,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,并且cos2A=cos2B-sin(
π
3
+B)cos(
π
6
+B)

(1)求角A的值;
(2)若△ABC的面積為6
3
,求邊a的最小值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

設△ABC是銳角三角形,a,b,c分別是內角A,B,C所對邊長,并且sin2A=sin(
π
3
+B)sin(
π
3
-B)+sin2B

(1)求角A的值;
(2)若
AB
AC
=12,a=2
7
,求b2+c2(其中b<c)

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2011•臨沂二模)設△ABC是銳角三角形,a、b、c分別是內角A、B、C的對邊長,向量m=(2sin(A+C),-
3
),n=(cos2B,2cos2
B
2
-1),且向量m,n共線.
(I)求角B的大小;
(II)若
BA
BC
=12
,B=2
7
,求a,c(其中a<c)

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