Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，E在CD延長線上，且DE=CD．動點P從點A出發(fā)，沿正方形ABCD的邊按逆時針方向運動一周回到A點，其中

AP

=λ

AB

+μ

AE

，則下列命題正確的是

 

．（填上所有正確命題的序號）
①λ≥0，μ≥0；
②當點P為AD中點時，λ+μ=1；
③若λ+μ=2，則點P有且只有一個；
④λ+μ的最大值為3；
⑤

AP

•

AE

的最大值為1．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)正方形的邊長為1，可以得到

AP

=λ

AB

+μ

AE

=（λ-μ，μ），然后根據(jù)相對應(yīng)的條件加以判斷即可．

解答： 解：由題意，設(shè)正方形的邊長為1，建立坐標系如圖，
則B（1，0），E（-1，1），
∴

AB

=（1，0），

AE

（-1，1），
∵

AP

=λ

AB

+μ

AE

，
∴λ≥0，μ≥0；故①正確
∴

AP

=λ

AB

+μ

AE

=（λ-μ，μ），
當點P為AD中點時，
∴

AP

=（0，

1

2

），
∴λ-μ=0，μ=

1

2

，
故λ+μ=1；故②正確，
當λ=μ=1時，

AP

=（0，1），此時點P與D重合，滿足λ+μ=2，
當λ=

3

2

，μ=

1

2

時，

AP

=（1，

1

2

），此時P是BC的中點，滿足λ+μ=2，
故③錯誤
當P∈AB時，有0≤λ-μ≤1，μ=0，∴0≤λ≤1，0≤λ+μ≤1，
當P∈BC時，有λ-μ=1，0≤μ≤1，∴λ=μ+1，∴1≤λ≤2，∴1≤λ+μ≤3，
當P∈CD時，有0≤λ-μ≤1，μ=1，∴μ≤λ≤μ+1，即1≤λ≤2，∴2≤λ+μ≤3，
當P∈AD時，有λ-μ=0，0≤μ≤1，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤2，
綜上，0≤λ+μ≤3，
故④正確；

AP

•

AE

=（λ-μ，μ）•（-1，1）=-λ+2μ，有推理④的過程可知-λ+2μ的最大值為1，
綜上，正確的命題是①②④⑤．
故答案：①②④⑤

點評：本題考查向量加減的幾何意義，涉及分類討論以及反例的方法，是易錯題．