Question

若關(guān)于x的方程x³-6x²+9x+a=0有三個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)f（x）=x³-6x²+9x+a，方程有三個(gè)實(shí)根等價(jià)為極大值大于0，極小值小于0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)即可得a的取值范圍．

解答： 解：設(shè)f（x）=x³-6x²+9x+a，
則f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
由f′（x）＞0，解得x＞3或x＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0，解得1＜x＜3，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
即當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極大值f（1）=4+a，
當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取得極小值f（3）=a，
要使關(guān)于x的方程x³-6x²+9x+a=0有三個(gè)實(shí)根，
滿足

f(1)=4+a＞0 f(3)=a＜0

，解得-4＜a＜0時(shí)，
故答案為：（-4，0）

點(diǎn)評(píng)：本題以方程為載體，考查方程根問(wèn)題，考查函數(shù)與方程的聯(lián)系，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值．