Question

17．已知圓O：x²+y²=1，點M（x₀，y₀）是直線x-y+2=0上一點，若圓O上存在一點N，使得$∠NMO=\frac{π}{6}$，則x₀的取值范圍是[-2，0]．

Answer 1

分析 過M作⊙O切線交⊙C于R，則∠OMR≥∠OMN，由題意可得∠OMR≥$\frac{π}{6}$，|OM|≤2．再根據(jù)M（x₀，2+x₀），|OM|²=x₀²+y₀²=2x₀² +4x₀+4，求得x₀的取值范圍．

解答 解：過M作⊙O切線交⊙C于R，根據(jù)圓的切線性質(zhì)，
有∠OMR≥∠OMN．
反過來，如果∠OMR≥$\frac{π}{6}$，則⊙O上存在一點N使得∠OMN=$\frac{π}{6}$．
∴若圓O上存在點N，使∠OMN=$\frac{π}{6}$，則∠OMR≥$\frac{π}{6}$．
∵|OR|=1，OR⊥MR，∴|OM|≤2．
又∵M（x₀，2+x₀），
|OM|²=x₀²+y₀²=x₀²+（2+x₀）²=2x₀² +4x₀+4，
∴2x₀²+4x₀+4≤4，解得，-2≤x₀≤0．
∴x₀的取值范圍是[-2，0]，
故答案為：[-2，0]．

點評 本題主要考查了直線與圓相切時切線的性質(zhì)，以及一元二次不等式的解法，綜合考察了學生的轉(zhuǎn)化能力，計算能力，屬于中檔題．