Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O：x²+y²=4交x軸于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上），點(diǎn)M為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，MA，MB分別交直線x=4于P，Q兩點(diǎn)．
（1）求P，Q兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的乘積；
（2）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），連接MC交圓O于另一點(diǎn)N：
①試判斷點(diǎn)C與以PQ為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由；
②記MA，NA的斜率分別為k₁，k₂，試探究k₁k₂是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出直線AM的方程，求出$P（4，\frac{{6{y_0}}}{{{x_0}+2}}）$，$Q（4，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}）$，然后求解P，Q兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的乘積；
（2）通過$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CQ}=9+\frac{{6{y_0}}}{{{x_0}+2}}•\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}=-3$，判斷點(diǎn)C在圓內(nèi)，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，$M（1，\sqrt{3}）$，$N（1，-\sqrt{3}）$，求出直線的斜率，當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y=k（x-1），代入圓方程x²+y²=4，利用韋達(dá)定理化簡求解k₁k₂的值．

解答 解：（1）由題意，解得A（-2，0），B（2，0），設(shè)M（x₀，y₀），∴直線AM的方程為$y=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（x+2）$，令x=4，則$y=\frac{{6{y_0}}}{{{x_0}+2}}$，∴$P（4，\frac{{6{y_0}}}{{{x_0}+2}}）$，同理$Q（4，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}）$，∴${y_P}{y_Q}=\frac{{6{y_0}}}{{{x_0}+2}}•\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}=\frac{{12{y_0}^2}}{{{x_0}^2-4}}=-12$…（5分）
（2）①∵C（1，0），由（1）知$\overrightarrow{CP}=（3，\frac{{6{y_0}}}{{{x_0}+2}}）$，$\overrightarrow{CQ}=（3，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}）$，
∴$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CQ}=9+\frac{{6{y_0}}}{{{x_0}+2}}•\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}=-3$，即$∠PCQ＞\frac{π}{2}$，
∴點(diǎn)C在圓內(nèi)…（10分）
②設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，$M（1，\sqrt{3}）$，$N（1，-\sqrt{3}）$，此時(shí)${k_1}{k_2}=-\frac{1}{3}$；
當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y=k（x-1），
代入圓方程x²+y²=4，整理得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}}}{{1+{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{{k^2}-4}}{{1+{k^2}}}$，又${k_1}{k_2}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{（{x_1}+2）（{x_2}+2）}}=\frac{{{k^2}（{x_1}{x_2}-{x_1}-{x_2}+1）}}{{{x_1}{x_2}+2（{x_1}+{x_2}）+4}}$，
∴${k_1}{k_2}={k^2}\frac{{\frac{{{k^2}-4}}{{1+{k^2}}}-\frac{{2{k^2}}}{{1+{k^2}}}+1}}{{\frac{{{k^2}-4}}{{1+{k^2}}}+\frac{{4{k^2}}}{{1+{k^2}}}+4}}=-\frac{1}{3}$…（16分）

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的方程的綜合應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力．